ghf

IZOMORFISME ÎN ARITMETICĂ ȘI ALGEBRĂ DIANA ILIESCU 2 CUPRINS CAPITOLUL I - NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1. Relaţii...................................................................................................................4 2. Relaţii de echivalenţă...........................................................................................5 3. Relaţii funcţionale................................................................................................8 4. Relaţii de echivalenţă asociate unei aplicaţii......................................................11 5. Categorii.............................................................................................................15 6. Algebre universale..............................................................................................18 7. Latice..................................................................................................................25 CAPITOLUL II - UTILIZAREA ÎN ARITMETICĂ ȘI ALGEBRĂ A TEOREMELOR DE IZOMORFISM LA GRUPURI 1. Consecinţe ale primei teoreme de izomorfism....................................................27 2. Utilizarea celorlalte teoreme de izomorfism.......................................................30 3. Rezultate obţinute în aritmetică utilizând algebra...............................................31 CAPITOLUL III - ASPECTE METODICE PRIVIND OBȚINEREA ȘI UTILIZAREA IZOMORFISMELOR 1. Consideraţii preliminare.......................................................................................34 2. O analogie cu geometria......................................................................................35 3. Construcţii de structuri utilizând izomorfisme....................................................37 4. Transport de structură..........................................................................................42 5. Structuri de matrice..............................................................................................49 6. Izomorfisme speciale...........................................................................................62 BIBLIOGRAFIE....................................................................................................70 3 INTRODUCERE Izomorfismele în matematică au o deosebită importanţă deoarece permit identificarea unor structuri matematice şi a operaţiilor algebrice definite pe acestea. Noţiunea de izomorfism se aplică structurilor algebrice (grup, inel, corp etc.); relaţia de izomorfism între structuri algebrice de acelaşi tip este analogă relaţiei de congruenţă din geometrie. Noţiunea de izomorfism este puţin valorificată în matematica şcolară (se introduce, fără aprofundare, doar pentru structura algebrică de grup) acesta fiind şi motivul alegerii acestei teme. Intenţia noastră este de a pune în valoare (ştiinţific şi metodic) noţiunea de izomorfism, dar mai ales utilizările sale, unele netratate până acum: obţinerea de proprietăţi (proprietăţi aritmetice obţinute cu ajutorul algebrei). De asemenea am fost interesaţi de tehnicele cunoscute (sau necunoscute) de obţinere a izomorfismelor. Lucrarea este structurată în trei capitole, astfel: Cap. I NOŢIUNI INTRODUCTIVE – urmăreşte definirea unor elemente, noţiuni care vor interveni în elaborarea lucrării. Exemple: relaţii binare, relaţii funcţionale, noţiunea de categorie, cea de algebră universală, de latice, teoremele de izomorfism etc. Cap. II UTILIZAREA ÎN ARITMETICĂ ȘI ALGEBRĂ A TEOREMELOR DE IZOMORFISM LA GRUPURI – urmăreşte obţinerea unor rezultate în aritmetică folosind teoremele de izomorfism la grupuri, cu accent pe teoremele Lagrange, Euler, Fermat, lema chinezească a resturilor. Cap. III ASPECTE METODICE PRIVIND OBŢINEREA ŞI UTILIZAREA IZOMORFISMELOR – Acest capitol cuprinde unele aspecte legate de funcţia omografică, o analogie cu geometria, izomorfisme speciale, dar şi o metodă de calcul a puterii unei matrice. 4 CAPITOLUL I NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1. RELAŢII O mulţime nevidă C, unde ( )   CA x B : a,b : a A, b B = , se va numi corespondenţă între mulţimile A şi B. Luând mulţimea S := A  B, corespondenţa C conţine perechi ordonate de elemente din S. Definiţia 1 O mulţime S x S  se numeşte relaţie binară între elementele mulţimii S. Mulţimea Dom(  ) : =  aI a S şi b B astfel încât (a,b)   se numeşte domeniul relaţiei  . Mulţimea Ran (  ) : = ( ) Rel(S) şi a,b  se numeşte mulţimea de valori a relaţiei  . Mulţimea S se numeşte suportul relaţiei  . Dacă Dom (  ) = S, atunci  se numeşte relaţie binară pe S. Observaţia 1 a) Deoarece 2 S : S x S  = , pentru a conferi caracter unitar unei teorii a relaţiilor se acceptă relaţia vidă. Fără o referire expresă, relaţiile din conţinutul lucrării vor fi considerate relaţii nevide. b) Dacă  este o relaţie între elementele mulţimii S   , atunci  este o corespondenţă între anumite elemente ale mulţimii S. Prin notaţia Rel(S) se va înţelege mulţimea relaţiilor care au suportul S   . c) Fie ( ) Rel(S) şi a,b  se spune că relaţia  are loc pentru perechea (a,b) şi se notează a  b. Dacă (a,b)   se spune că relaţia  nu are loc pentru perechea (a,b) şi se notează ab  . d) Relaţia   Rel(S),unde :(s,s)Is S   = , se va numi relaţia de egalitate pe mulţimea S. Definiţia 2 Fie Rel(S)  . Relaţia  se numeşte: • Reflexivă dacă aa, aS • Simetrică dacă a,bS cu ab atunci ba • Tranzitivă dacă a,b,cS cu ab, bc atunci ac • Antisimetrică dacă a,bS cu ab şi ba, atunci a=b • Unică la stânga dacă a,b,cS cu ac şi b c, atunci a=b • Unică la dreapta dacă a,b,cS cu ab şi ac, atunci b=c • Conexă dacă aS,  bS astfel încât ab. 5 2. Relaţii de echivalenţă Definitia 3 Fie  ReI(S) . Se spune că relaţia  este o relaţie de echivalenţă pe S dacă este reflexivă, simetrică şi tranzitivă. Mulţimea tuturor relaţiilor de echivalenţă pe o multime nevidă S se notează  (S). Observaţia 2 a) Fie S o mulţime oarecare de obiecte. Dacă se iau în considerare toate proprietăţile posibile, atunci un obiect din S este identic doar cu sine (identitatea logică). Dacă se consideră numai o parte din proprietăţi, atunci este posibil ca obiecte diferite (de exemplu a si b) să aibă în comun aceste proprietăţi. În această situatie se vor "identifica" obiectele a şi b. Această relaţie de identificare parţială (în sensul considerării doar a unei părţi a proprietăţilor posibile) este de fiecare dată o relaţie de echivalenţă pe S. b) Formal, se poate scrie: 1) a  a, aS   (S)  2) a, b S astfel încât a  b  b  a 3) a, b, c S astfel încât a  b, b  c  a  c Exemple: a) Fie m Z, m>1, m fixat. Oricărui număr întreg a îi corespunde o pereche unică de numere întregi (c, r) astfel încât a = m·c + r,0  r < m (Z este domeniu de integritate euclidian in raport cu norma dată de aplicaţia modulo). Prin urmare, perechii (a,m) i se pune în corespondenţă numărul întreg r, deci se poate defini operaţia "modulo m" în sensul: a mod m = r. Pe Z se introduce relaţia "≡" astfel: x,y Z, x ≡ y(mod m) def  x mod m = y mod m. Relaţia "≡" se numeşte relaţia de congruenţă modulo m şi se verifică fără dificultate că este o relaţie de echivalenţă pe muţimea Z. b) Relaţia de egalitate pe orice mulţime este o echivalenţă pe acea mulţime (conform Obs.2) c) În geometria planului, relaţiile de congruenţă şi asemănare sunt echivalenţe pe mulţimea triunghiurilor acelui plan. Definiţia 4 Fie    (S) şi mulţimea C  S, C  . Mulţimea C se numeşte clasă de echivalenţă a relaţiei  dacă sunt îndeplinite condiţiile: i) a,b C a  b ii) a S, b C şi a  b  a  C. Teorema 1 Fie    (S) şi a S. Mulţimea M def  {x Ix S, x  a} este o clasă de echivalenţă a relaţiei  Demonstraţie: Fie mulţimea M = {x Ix S, x  a}, unde a S. Cum a  a  M  . Fie x,y  M; atunci x  a şi y  a implică, conform tranzitivităţii relaţiei  , faptul că x  y, adică i) din def. 4. 6 Se consideră x S şi y M ; din x  y şi y  a se obţine x  a, adică ii) din def.4. Prin urmare, mulţimea M este o clasă de echivalenţă a relaţiei  . Teorema 2 Fie C o clasă de echivalenţă a relaţiei    (S) şi a C. Dacă M ={ x Ix S, x  a} atunci mulţimile C şi M sunt egale. Demonstraţie: Pentru orice x C are loc relaţia x  a - conform i) din def.4, deci x M, de unde se obţine C  M (*). Fie x M S; cum a S şi x  a rezultă că x C, deci M  C(**). Din (*) şi (**) avem că M=C . Teorema 3 Fie    (S). Atunci orice element din S aparţine exact unei clase de echivalenţă a relaţiei  . Demonstraţie: Fie a S, a fixat arbitrar. Cum M = {x Ix S, x  a} este clasă de echivalenţă a relaţiei  şi a M (conform Th.1), urmează că a aparţine cel puţin unei clase de echivalenţă a relaţiei  . Fie C o clasă de echivalenţă a relaţiei  clasă ce conţine elementul a. Conform teoremei 2 rezultă că C = M. Deci elementul a aparţine cel mult unei clase de echivalenţă. Observaţia 3 a) Dacă   (S) şi a S, se notează cu â clasa de echivalenţă unică a relaţiei  ce conţine elementul a. b) Dacă   (S), se notează cu  S mulţimea claselor de echivalenţă ale relaţie  , numită mulţime factor. Dacă C1, C2   S , atunci C1 = C2 sau C1 ∩ C2 =  deoarece dacă C1 ∩ C2  avem C1 = C2 = â, unde a  C1 ∩ C2. Definitia 5 Fie    (S) şi T  S. Mulţimea T se numeşte sistem de reprezentanţi ai relaţiei  dacă: S1) x, y  T  x  y ; S2) x S,  y T astfel încât x  y. Observaţia 4 a) Condiţiile S 1 şi S2 din definiţia de mai sus certifică faptul că mulţimea T conţine un singur element din fiecare clasă de echivalenţă. b) Dacă T este un sistem de reprezentanţi ai relaţiei    (S), atunci  S = {Xˆ Ix T} şi  S = ITI, unde ITI înseamnă cardinalul mulţimii T . Teorema ce urmează este fundamentală pentru relaţiile de echivalenţă : Teorema 4 - Principiul identificării la abstractizări I) Dacă    (S), atunci  S este o partiţie a mulţimii S. 7 II) Dacă P este o partiţie a mulţimii S, atunci există    (S), astfel încât  S = P Demonstraţie: I) Fie T un sistem de reprezentanţi ai relaţiei  (existenţa sistemului T este asigurată de axioma alegerii). Atunci  S = {Xˆ I x T}. Mulţimea factor  S este o familie de mulţimi nevide (din Def. 4 şi Obs. 3). Trebuie demonstrat că  S este o acoperire a lui S, adică  Tx Sxˆ  = , şi că oricare două mulţimi din  S sunt disjuncte, afirmaţie care rezultă din Obs. 3. Fie s S şi t T cu s  t (t există în conformitate cu S2 din Def. 5) ; deoarece xˆtˆsˆ Tx   = şi s  sˆ , se deduce că xˆS Tx    . Incluziunea reciprocă fiind evidentă, rezultă că .xˆS Tx   = II) P este partiţie a mulţimii S  1) X  , X  P ; 2) X ∩ Y =  ,  X  Y din P;S = X PX   . Se defineşte pe S relaţia  asfel încât x  y C P cu x, y C . Relaţia  este reflexivă, simetrică şi tranzitivă. Dacă a  C  P, atunci â = C , deci  S = P. Observaţia 5 Cu ajutorul teoremei 4 se poate demonstra că pentru o mulţime oarecare S  mulţimea relaţiilor de echivalenţă pe S şi mulţimea partiţiilor lui S sunt de acelaşi cardinal. 8 3. Relaţii funcţionale Definiţia 6 Fie mulţimile nevide A şi B. Se numeşte funcţie între mulţimile A şi B o relaţie  între elementele mulţimii S = A B cu proprietăţile: F1) Dom(  )  A şi Ran(  )  B F2)  este unică la dreapta. - Dacă Dom(  ) = A, atunci  se numeşte aplicaţie de la A la B, notată  : A → B sau AB   - Dacă aplicaţia  : A → B este conexă, atunci  se numeşte surjectivă. - Dacă aplicaţia  : A → B este unică la stânga, atunci  se numeşte injectivă. - Dacă  este injectivă şi surjectivă, atunci  se numeşte bijectivă. Fie o funcţie între mulţimile A şi B. Funcţia f este o corespondenţă unică la dreapta între mulţimile A şi B, notată f  AxB. Dacă (a, b) f , atunci spunem că are loc relaţia funcţională f pentru perechea (a, b). Pentru (a, b) f, b se notează prin af sau af şi se numeşte imaginea lui a prin funcţia f, sau b se notează prin fb sau fb şi se numeşte valoarea funcţiei f în a. Elementul a se numeşte imaginea inversă a elementului b prin funcţia f. Mulţimea {x I x A, f(x) = b}   f-1(b) se numeşte imaginea inversă completă a elementului b prin funcţia f . Definiţia 7 Fie funcţiile f  A x B şi g  C x D. Funcţia h  A x D se numeşte compusa funcţiilor f şi g dacă pentru (a,d)h, bB ∩ C, astfel încât (a,b) f şi (b,d) g. Fie (a, b) f, (b, d) g, (a, d) h . Dacă se consideră imaginile avem: b=af,d=bg,d=ah , deci d=ah =(af)g, de unde notaţia h=g o f. Fie aplicaţiile A f  B şi B g  C , atunci g o f este o aplicaţie de la A la C definită de (g o f)(a) = g(f(a)), aA. Teorema 5 Fie aplicaţia f : A → B . I) Dacă f este aplicaţie injectivă, atunci oricare ar fi aplicaţiile u, v : C → A cu f o u = f o v  u = v (simplificarea la stânga a injecţiilor). II) Dacă f este aplicaţie surjectivă, atunci oricare ar fi aplicaţiile u,v : B→C cu u o f = v o f  u = v (simplificarea la dreapta a surjecţiilor) . Demonstraţie: I) f : A→B este injectivă  a1, a2 A, f(a1)=f(a2)  a1=a2. Cum aplicaţiile u şi v au acelasi domeniu şi acelaşi codomeniu, pentru a arăta că u=v trebuie demonstrate că u(b)=v(b), bB. Fie b B, b fixat arbitrar şi c1 = u(b) iar c2 = v(b). Avem f(c1) = f(u(b)) = (f o u)(b) şi f(c2) = f(v(b)) = (f o v)(b), deci f(c1) = f (c2), adică c1 = c2 ceea ce înseamnă u(b) = v(b) . II) f : A→B este surjectie  f(A)=B unde f(A) = {f(x) I x A}. Cum f(A)  B, pentru ca f să fie surjecţie este necesar şi suficient ca B  f(A), adică bB, aA cu f(a)=b. Aplicatiile u şi v având acelaşi domeniu şi acelaşi codomeniu, trebuie demonstrate că u(b) = v(b), bB. Fie b fixat arbitrar în B şi a A cu f (a) = b. Avem u(b)=v(b)=(u o f)(a) şi v(b) =v(f(a)) (v o f)(a), deci u(b)=v(v). 9 Teorema 6 Fie f:A→B, g:B→C, h:A→C cu h=g o f. I) Dacă f, g sunt injecţii, atunci h este injecţie. II) Dacă h este injecţie, atunci f este injecţie. III) Dacă f şi g sunt surjecţii, atunci h este surjecţie. IV) Dacă h este surjecţie, atunci g este surjecţie. Demonstraţie: I) , deoarece f, g sunt injectii. Prin urmare a1,a2A cu h (a1)=h(a2)  a1=a2 adică h este injectie. II) Dacă f nu este injectie atunci a1,a2A cu a 1  a2 şi f(a1)=f(a2). Fie b=f(a1)=f(a2) şi c=g(b). Atunci c=g(b)=g(f(a1))=(gof)(a1)=h(a1) şi c=g(b)=g(f(a2))=(gof)(a2)=h(a2), de unde rezultă că h(a1)=h(a2) cu a1 a2, ceea ce reprezintă o absurditate, căci h este injecţie. Prin urmare f este injecţie. III) cC, g- 1(c)  (deoarece g este surjectivă) unde g-1(c)={b B l g(b)=c}. Fie b g-1(c) şi a f-1(b) unde f-1(b)  definit asemănător cu g-1(c). Avem că f(a)=b şi g(b)=c şi deci c C, aA astfel încâ t h(a)=c, adică h este surjecţie. IV) Fie c C. Atunci h-1(c)  adică există a A astfel încât c=h(a). Dar h(a)=c=(g o f)(a)= g(f(a)= g(b), unde s-a notat b=f(a). Deci cC, bB astfel încât g(b)=c, adică g este surjecţie. Definitia 8 Fie f: A → B . 1) Spunem că f este inversabilă la stânga dacă g: B →A astfel încât g o f =1A, unde 1A:A→A, 1A (x)=x, xA. 2) Spunem că f este inversabilă la dreapta dacă g: B→A astfel încât f o g = 1B unde 1B: B→ B , 1B(x) = x, xB . 3) Spunem că f este inversabilă  f este inversabilă la stânga şi dreapta. Teorema 7 Fie f :A→B. I) f este inversabilă la stânga  f este injecţie. II) f este inversabilă la dreapta  f este surjecţie. III) f este inversabilă  f este bijecţie. IV) Dacă f este bijecţie, atunci există şi este unică o funcţie g:B→A astfel încât g o f = 1A şi f o g=1B. Demonstraţie: I) Necesitatea rezultă din definiţia 7 şi teorema 7 (deoarece 1A este surjecţie). Suficienţa : Deoarece aplicaţia f este injecţie, avem │f-1 (b)│≤1, bB . Definim g: B→A, Next >